Η μη πληρότητα στα μαθηματικά και στη ζωή

“Ο Θεός υπάρχει αφού τα μαθηματικά είναι συνεπή ,
και ο Διάβολος υπάρχει αφου δεν μπορούμε να το αποδείξουμε”
Αντρέ Βέιλ

Το αξίωμα της μη πληρότητας

(με αφορμή μια απορία αλλά αφιερωμένο σε όλους μισούν ή αγαπούν τα μαθηματικά)

Πράξη 1η

“Από δύο σημεία περνάει μια μόνο μία ευθεία”

“Από ένα σημείο που βρίσκεται έξω από μια ευθεία περνάει μόνο μια άλλη παράλληλη στη πρώτη”

Αυτά είναι δύο από τα αξιώματα, δηλαδή αυταπόδεικτες αλήθειες στις οποίες βασίζεται η Ευκλείδια γεωμετρία. Ολα τα θεωρήματα και οι προτάσεις της αποτελούν ένα λογικό χάρτη με πολύπλοκες συχνά διαδρομές που ξεκινούν από τα αξιώματα για να καταλήξουν στον προορισμό τους , ένα νέο θέωρημα , μια νέα πρόταση ένα νέο συμπέρασμα ή στη λύση ενός μαθηματικού προβλήματος.

Υπάρχουν συχνά πολλές διαδρομές με το ίδιο τέλος και είναι γοητευτική η ανακάλυψη μιας νέας λογικής διαδρομής. Είναι μαζί μια πολύτιμη εμπειρία να ακολουθήσει κανείς νέα λογικά μονοπάτια ,αφού η θέα κάθε διαδρομής είναι διαφορετική και οι εμπνεύσεις , τα μονοπάτια, ακόμα και τα αδιέξοδα είναι μια λογική και διαισθητική περιπέτεια με εκπλήξεις.

Φανταστείτε τώρα δύο διαφορετικές λογικές διαδρομές που ξεκινούν από τα ίδια αξιώματα και καταλήγουν στα εξής αντιφατικά συμπεράσματα. α) Ο Χ με αγαπάει β) Ο Χ δεν με αγαπάει

Το οικοδόμημα σας καταρέει και η θεωρία δεν είναι συνεπής. Δεν θα αμφιβάλλατε και για κάθε άλλο συλλογισμό και συμπερασμα που είχατε διατυπώσει μέχρι εκείνη τη στιγμή; Πως θα μπορούσατε να είστε βέβαιοι πως το συμπέρασμά σας “μου είπε αλήθεια” δεν θα μπορούσε να είναι “μου είπε ψέματα” ακολουθόντας ένα άλλο λογικό δρόμο που ξεκινούσε από τους ίδιους βασικούς κανόνες του μυαλού σας και της ζωής σας?

Πράξη 2η

Οταν ο Danid Hilbert προσκλήθηκε το 1900 στο Παρίσι στο διεθνές συνέδριο μαθηματικών δεν ειχε ακόμα κλείσει τα σαράντα αλλά οι ιδέες του στη θεωρία των αριθμών και στη γεωμετρία είχαν προκαλέσει δραμματικές αλλαγές στα μαθηματικά. Αποφάσισε να μιλήσει στη διεθνή κοινότητα οχι για τα ήδη αποδεδειγμένα αλλά για αυτά που δεν είχαν αποδειχθεί. Ο τίτλος της ομιλιάς του ήταν “Μαθηματικά προβλήματα” και παρουσίαζε εικοσι τρία άλυτα μαθηματικά προβλήματα.

“Ενα μαθηματικό πρόβλημα πρέπει να είναι αρκετά δύσκολο ώστε να μας κινητοποιεί, όχι όμως εντελώς απρόσιτο , ώστε να βρίσκεται πέρα από τις δυνατότητές μας. Πρέπει να λειτουργεί σαν οδηγός στα δαιδαλώδη μονοπάτια της κρυμμένης αλήθειας και ως υπόμνηση της χαράς μιας επιτυχούς λύσης”

Στο δεύτερο πρόβλημά του ο Hilbert είχε προκαλέσει τους μαθηματικούς να αποδείξουν ότι τα μαθηματικά δεν περιέχουν αντιφάσεις, δηλώνοντας ότι στα μαθηματικά δεν υπάρχουν μη απαντήσιμες ερωτήσεις. Στην ουσία καλούσε τους μαθηματικούς να βάλουν μια τάξη στο σπίτι τους.

Τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη θεωρημάτων και αποδείξεων που βασίζονται σε αυταπόδεικτες αλήθειες (αξιώματα) , στις οποίες βασίζεται όλο το μαθηματικό εποικοδόμημα. Μια συλλογή αξιωμάτων λέγεται συνεπής όταν δεν οδηγεί σε αντιφάσεις. Δεν είναι δυνατόν όμως να αποδειχθεί η συνέπεια χρησιμοποιώντας τα ίδια τα αξιώματα. Αν το αποδείξεις χρησιμοποιώντας μιαν άλλη σειρά θα εκκρεμεί η απόδειξη της συνέπειας της νέας σειράς κ.ο.κ.

Πως μπορούμε να είμαστε σίγουροι, ότι ενώ μια σειρά λογικών επιχειρημάτων και προτάσεων  αποδεικνύει την αλήθεια μιας πρότασης, μια άλλη σειρά δεν θα κάνει το αντίθετο;

Ο Χίμπερτ ήταν βέβαιος ότι η ίδια η μαθηματική λογική θα μπορούσε να αποδείξει ότι τα μαθηματικά δεν περιέχον αντιφάσεις

Ο Κουρτ Γκέντελ εικοσιπέντε χρονών διέλυσε το όνειρο του Χίλμπερτ.

“Η αρχή της μή πληρότητας”

Μπορούμε να έχουμε μια θεωρία χωρίς αντιφάσεις, αλλά δεν μπορούμενα αποδείξουμε μέσα στα πλαίσια αυτής της θεωρίας ότι δεν υπάρχουν αντιφάσεις. Αν τα αξιώματα των μαθηματικών είναι συνεπή, θα υπάρχουν πάντα προτάσεις που δεν θα μπορούν να αποδειχθούν από τα αξιώματα. Είναι άσκοπο να προσθέτει κανείς νέα αξιώματα γιατί πάντα θα γεννιούνται νέες προτάσεις που δε θα μπορούν να αποδειχθούν.

Ο μοναδικός δρόμος για την μαθηματική αλήθεια από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων, η “απόδειξη” , έγινε ανασφαλής και ο Γκεντελ ένας “τρομοκράτης”.

Πράξη 3η

Η άγνοια είναι ένα αναποσπαστο κομμάτι των μαθηματικών. Σεμνότητα λοιπόν και όχι παρορμητικοί ενθουσιασμοί ή απογοητεύσεις, γιατί τώρα το ξέρει όλος ο κόσμος και μας βλέπει. Αλλο το έχω μια λογική απάντηση, άλλο έχω την απάντηση σε όλα. Οι μαθηματικοί πρέπει να ζούν όπως οι φυσικοί με την δική τους αβεβαιότητα.

Είναι σοφία να χρησιμοποιείς την αβεβαιότητά σου για να βαδίζεις μπροστά. Δεν υπάρχει σιγουριά, δεν υπάρχει βεβαιότητα, δεν υπάρχει ασφάλεια, σε ότι σχετίζεται και “διασφαλίζεται” από την λογική.

Ο Γκέντελ δεν αμφισβήτησε καμμιά μαθηματική αλήθεια που είχε ήδη αποδειχτεί.Απλά είπε ότι τα μαθηματικά είναι κάτι παραπάνω από αποδείξεις θεωρημάτων. Πρέπει τα αξιώματα , τα θεμέλια, να διευρύνονται συνέχεια και με τον παραδοσιακό τρόπο, αλλά η ανθρώπινη διαίσθηση θα είναι καθοριστική στην επιλογή των νέων αξιωμάτων.

Η διαίσθηση , το συναίσθημα, κάθε συστατικό της ανθρώπινης ψυχής, είναι συστατικά της κοσμοθεωρίας της κοσμοαντίληψης και του ανθρωποκεντρικού σύμπαντος του καθένα μας που όμως διαστέλλεται διαρκώς. Ειναι ακόμα αυταπόδεικτες αλήθειες , αφετηρίες της κάθε διαδρομής ακόμα και όταν η λογική πρέπει να χαράξει τους δρόμους στον χάρτη της ζωής.

“κύριος Βασίλης”

Claude Shannon: Θεωρία της πληροφορίας

Στις 30 Απριλίου του 1916, γεννήθηκε ένας σπουδαίος Αμερικανός επιστήμονας και στοχαστής. Ο άνθρωπος που κατά τη δεκαετία του ’40, θεμελίωσε την θεωρία της πληροφορίας και ανέδειξε την πληροφορία σε μετρήσιμο μέγεθος. Έθεσε έτσι τα θεμέλια για τα τηλεπικοινωνιακά δίκτυα και με αυτόν τον τρόπο βοήθησε να αναπτυχθεί η σημερινή Κοινωνία της Πληροφορίας. Είναι μεγάλη ειρωνεία το γεγονός ότι ένα τόσο κοφτερό, γόνιμο και πολυδουλεμένο μυαλό τα τελευταία χρόνια προσβλήθηκε από τη νόσο του AΙzheimer και πέθανε στις 24 Φεβρουαρίου του 2001.

Αποφοίτησε το 1936, από το Πανεπιστήμιο του Michigan, παίρνοντας δύο πτυχία του Μαθηματικού και του Ηλεκτρολόγου Μηχανικού. Τις μεταπτυχιακές του σπουδές τις έκανε στο ΜΙΤ, όπου είχε σαν καθηγητή και τον Norbert Wiener (που ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τη λέξη Κυβερνητική).

Ο πρύτανης του τμήματος Μηχανολογίας την εποχή εκείνη, όρισε τον Shannοn υπεύθυνο για τη λειτουργία μιας δύσχρηστης υπολογιστικής συσκευής, που είχε κατασκευάσει ο ίδιος και είχε ονομάσει “διαφορικό αναλυτή”. Εκείνος δε άρχισε να σκέφτεται τρόπους βελτίωσής του, ενδεχομένως με τη χρήση ηλεκτρικών κυκλωμάτων στη θέση των δύσχρηστων μηχανικών μερών.

Ο CΙaυde Shannοn δεν άργησε να σκεφθεί ότι η άλγεβρα του Boole που είχε διδαχθεί ως προπτυxιακός φοιτητής είχε πολλά κοινά στοιχεία με ένα ηλεκτρικό κύκλωμα. Το επόμενο λογικό βήμα ήταν να σχεδιάσει συστήματα κυκλωμάτων, σύμφωνα με τις αρχές που είχε διατυπώσει ο ΒοοΙe στα μέσα του 18ου αιώνα.

Σε μια διατριβή του, με τίτλο “Α SymbοΙic Analysis οf Relay and Switching Circυίts”, ο Shannοn περιέγραψε με ποιο τρόπο η λογική του BοοΙe, σύμφωνα με την οποία όλα τα προβλήματα μπορούν να λυθούν με τη χρήση μόλις δύο συμβόλων, του 1 και του 0, μπορούσε να εφαρμοστεί στα ηλεκτρικά διακοπτόμενα κυκλώματα.
Το σύμβολο 1 μπορούσε να αντιπροσωπεύει ένας διακόπτης που είχε ενεργοποιηθεί, ενώ το 0 μπορούσε να είναι ένας διακόπτης που είχε απενεργοποιηθεί.

Υποστήριξε επίσης ότι οι διακόπτες αυτοί θα μπορούσαν να συνδέονται με τρόπο που να τους επιτρέπει να εκτελούν και πιο πολύπλοκες πράξεις, προτείνοντας πέρα από τις απλές δηλώσεις “ναι” και “όχι”, τη χρήση του “και” , του “ή” ή του “δεν”.

Η παραπάνω διατριβή του Shannοn, ο οποίος οραματίστηκε όλες τις μορφές επικοινωνίας σε δυαδικό κώδικα και υποστήριξε την άποψη ότι τα δυαδικά ψηφία μπορούν να συμβολίσουν ακόμα και λέξεις, ήχους, εικόνες, ίσως και ιδέες, χαρακτηρίστηκε μία από τις σημαντικότερες του 20ού αιώνα, ξεπερνώντας σε αξία ακόμα και τη προηγούμενη διατριβή του ίδιου για το διδακτορικό του, με θέμα “Μια άλγεβρα για τη θεωρητική γενετική”. Σε αυτήν την διατριβή θεωρούσε πως η διπλή έλικα του DNA σποτελεί ένα πληροφοριακό σύστημα.

Ολόκληρο άρθρο εδώ